- Darstellungstheorie von Gruppen
- Quantenfeldtheorie
Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).
Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als $ T_i $ mit $ i = 1,\dotsc,8 $ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)
- $ \left[T_a,T_b\right]={\mathrm i}\,f^{abc}\,T_c $
(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die $ f^{abc} $ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:
- $ f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=\frac{1}{2},~f^{156}=f^{367}=-\frac{1}{2},~f^{458}=f^{678}=\frac{\sqrt{3}}{2} $
Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.
Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:
- $ T_a=\frac{1}{2}\lambda_a $
Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:
| $ \lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ | $ \lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -\mathrm i & 0 \\ \mathrm i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ | $ \lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ |
| $ \lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $ | $ \lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\mathrm i \\ 0 & 0 & 0 \\ \mathrm i & 0 & 0 \end{pmatrix} $ | |
| $ \lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $ | $ \lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\mathrm i \\ 0 & \mathrm i & 0 \end{pmatrix} $ | $ \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} . $ |
Bei der SU(2) hat man anstelle der acht $ \lambda $-Matrizen die drei Pauli-Matrizen.
Die $ \lambda $-Matrizen haben folgende Eigenschaften:
- Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
- Sie sind spurlos, das heißt $ \operatorname{tr}(\lambda_i)=0 $.
- Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt $ \operatorname{tr}(\lambda_i\lambda_j)=2\delta_{ij} $.
Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.
Siehe auch
- Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
- Quarks
Literatur
- Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9
- J. J. J. Kokkedee: The Quark model. OCLC 474207457