Dirac-Matrizen

Die Dirac-Matrizen (nach dem britischen Physiker Paul Dirac), auch Gamma-Matrizen genannt, sind vier Matrizen, die der Dirac-Algebra genügen. Sie treten in der Dirac-Gleichung auf.

Definition

Die Dirac-Matrizen $ \gamma^0,\,\gamma^1\,,\gamma^2\, $ und $ \,\gamma^3\, $ erfüllen definitionsgemäß die Dirac-Algebra, das heißt, die algebraischen Bedingungen

$ \begin{align} \gamma^0\gamma^0 &= 1\,,&\gamma^1\gamma^1 &= -1\,,&\gamma^2\gamma^2 &= -1\,,&\gamma^3\gamma^3 &= -1\,,\\ \gamma^0\gamma^1 &= -\gamma^1\gamma^0\,, & \gamma^0\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^0\,, & \gamma^0\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^0\,, &&\\ \gamma^1\gamma^2 &= -\gamma^2\gamma^1\,, & \gamma^1\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^1\,, & \gamma^2\gamma^3 &= -\gamma^3\gamma^2\,. && \end{align} $

Diese Bedingungen betreffen Antikommutatoren, also die Summe der Produkte zweier Matrizen in beiden Reihenfolgen,

$ \{ A , B \} = A\,B + B\,A\,. $

In Indexnotation, in der $ \mu $ und $ \nu $ für Zahlen aus $ \{0,1,2,3\} $ stehen, schreiben sich die Bedingungen an die Dirac-Matrizen zusammenfassend als

$ \{ \gamma^\mu , \gamma^\nu \} = \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = 2\,\eta^{\mu\nu}I\,. $

Dabei sind $ \eta^{\mu\nu} $ die Komponenten der Minkowski-Metrik mit Signatur (1,−1,−1,−1) und $ I $ ist die Einheitsmatrix.

Die γ5-Matrix

Zusätzlich zu den vier Gamma-Matrizen definiert man noch die Matrix

$ \gamma^5=\mathrm i\, \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\ . $

Sie ist ihr eigenes Inverses, $ \gamma^5 \gamma^5 = 1\,, $ ist hermitesch, antivertauscht mit den Gamma-Matrizen, $ \gamma^5 \gamma^\mu = - \gamma^\mu \gamma^5\,, $ und demnach mit jedem Produkt von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren.

Eigenschaften

Die Gamma-Matrizen erzeugen eine Clifford-Algebra. Jede irreduzible Darstellung dieser Algebra durch Matrizen besteht aus $ 4\times 4 $-Matrizen. Die Elemente des Vektorraumes, auf den sie wirken, heißen Spinoren. Verschiedene Darstellungen der Dirac-Algebra sind einander äquivalent, das heißt, sie unterscheiden sich nur durch die gewählte Basis. Insbesondere sind die negativen transponierten Matrizen $ -\gamma^{\mu\,\text{T}} $ und die hermitesch adjungierten Matrizen $ \gamma^{\mu\,\dagger} $ den Matrizen $ \,\gamma^\mu\, $ äquivalent, denn sie erfüllen ebenfalls die Dirac-Algebra. Es gibt daher eine Matrix $ A $ und eine Matrix $ C $, so dass

$ C \gamma^\mu C^{-1}=-\gamma^{\mu\,\text{T}}\ ,\quad A \gamma^\mu A^{-1}=\gamma^{\mu\,\dagger}\,. $

Die Matrix $ A $ ist zur Konstruktion von Skalaren, Vektoren und Tensoren aus Spinoren wichtig, die Matrix $ C $ tritt bei der Ladungskonjugation auf.

Jedes Produkt mehrerer Dirac-Matrizen lässt sich bis auf ein Vorzeichen als Produkt verschiedener Dirac-Matrizen in lexographischer Ordnung schreiben, denn das Produkt zweier verschiedener Gamma-Matrizen kann auf Kosten eines Vorzeichens umgeordnet werden. Zudem ist das Quadrat jeder Gamma-Matrix 1 oder -1. Die Produkte verschiedener Gamma-Matrizen bilden zusammen mit der Eins-Matrix und den negativen Matrizen eine Gruppe mit den 32 Elementen,

$ \pm 1\,,\, \pm \gamma^\mu\,,\, \pm \gamma^\mu \gamma^\nu\,,\,\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^\lambda \gamma^\mu \gamma^\nu \,,\,\lambda<\mu<\nu\,,\, \pm \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3\,,\, \text{wobei}\,\lambda,\mu,\nu\in\{0,1,2,3\}\,. $

Da jede Darstellung einer endlichen Gruppe bei geeigneter Basiswahl unitär ist, ist auch jede Darstellung der Gamma-Matrizen bei geeigneter Wahl der Basis unitär. Zusammen mit der Dirac-Algebra heißt dies, dass $ \gamma^0 $ hermitesch und die drei anderen $ \gamma $-Matrizen antihermitesch sind,

$ \gamma^{0\,\dagger}=\gamma^0\,,\,\gamma^{1\,\dagger}=-\gamma^1\,,\,\gamma^{2\,\dagger} =-\gamma^2\,,\,\gamma^{3\,\dagger}=-\gamma^3\,. $

In unitären Darstellungen bewirkt $ A=\gamma^0 $ die Äquivalenztransformation zu den adjungierten Matrizen

$ \gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0=\gamma^{\mu\,\dagger}\,. $

Mithilfe der Eigenschaften von $ \gamma^5 $ kann gezeigt werden, dass die Spur jedes Produktes von Gamma-Matrizen mit einer ungeraden Anzahl von Faktoren verschwindet.

$ \begin{align} \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr) &= \text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)= -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^5\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\bigr)\\ &= -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\gamma^5\gamma^5\bigr)= -\text{Spur}\, \bigl(\gamma^{\mu_1}\dots \gamma^{\mu_{2n+1}}\bigr) \end{align} $

Im vorletzten Schritt haben wir dabei verwendet, dass die Spur eines Produktes sich bei zyklischer Vertauschung der Faktoren nicht ändert und demnach $ \text{Spur}\,(\gamma^5\,B)= \text{Spur}\,(B\,\gamma^5) $ gilt.

Für die Spur eines Produktes von zwei Gamma-Matrizen gilt (weil die Spur zyklisch ist)

$ \text{Spur}\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu = \frac 1 2 \text{Spur}(\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu +\gamma^\nu\,\gamma^\mu) = \frac{2\, \eta^{\mu\nu}}{2} \text{Spur 1} = 4 \,\eta^{\mu\nu}\,. $

Die Spur von vier Gamma-Matrizen reduziert man mit der Dirac-Algebra auf die Spur von zwei.

$ \begin{array}{rcl} 2\,\text{Spur}\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu &=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa \,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa )\\ &=& \text{Spur} (\,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu + \gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\\ &&\ \ \ \ -\gamma^\lambda \,\gamma^\kappa\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu - \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu\\ &&\ \ \ \ +\gamma^\lambda \,\gamma^\mu\,\gamma^\kappa\,\gamma^\nu + \gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu\,\gamma^\kappa)\\ &=& 2\,\eta^{\kappa\lambda} \text{Spur} (\gamma^\mu\,\gamma^\nu) - 2\,\eta^{\kappa\mu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\nu) + 2\,\eta^{\kappa\nu} \text{Spur} (\gamma^\lambda\,\gamma^\mu) \end{array} $

Daher gilt :

$ \begin{array}{rcl} \text{Spur} \,\gamma^\kappa\,\gamma^\lambda\,\gamma^\mu\,\gamma^\nu &=& 4\,(\eta^{\kappa\lambda}\,\eta^{\mu\nu} -\eta^{\kappa\mu}\,\eta^{\lambda\nu} +\eta^{\kappa\nu}\,\eta^{\lambda\mu}) \end{array} $

Falls also verschiedene Dirac-Matrizen in einem Produkt nicht paarweise auftauchen, verschwindet die Spur des Produktes. Daraus folgt unter anderem, dass die sechzehn Matrizen, die man als Produkt von Null bis vier verschiedenen Gamma-Matrizen erhält, linear unabhängig sind.

Dirac-Gleichung

Dirac führte die Gamma-Matrizen ein, um die Klein-Gordon-Gleichung, die eine Differentialgleichung zweiter Ordnung ist, in eine Gleichung erster Ordnung umzuwandeln.

In natürlichen Einheiten kann die Dirac-Gleichung wie folgt geschrieben werden

$ (i \gamma^\mu \partial_\mu -m) \psi = 0 $

wobei $ \psi $ ein Dirac-Spinor ist.

Multipliziert man beide Seiten mit $ -(i \gamma^\nu \partial_\nu + m) $ erhält man

$ (\eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu + m^2) \psi = (\partial^2 + m^2) \psi = 0, $

also gerade die Klein-Gordon-Gleichung für ein Teilchen der Masse $ m $.

Zusammenhang zu Lorentz-Transformationen

Die sechs Matrizen

$ \Sigma ^{\mu\nu} = \frac{1}{4}\bigl( \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu\bigr) $

bilden die Basis einer Lie-Algebra, die der Lie-Algebra der Lorentztransformationen isomorph ist. Sie erzeugen die zu Lorentztransformationen (die stetig mit der 1 zusammenhängen) gehörigen Transformationen der Spinoren $ \psi $.

Chiralität

Aus $ (\gamma^5)^2=1 $ und $ \text{Spur}\,\gamma^5=0 $ folgt, dass die Matrizen

$ P_L = \frac{1-\gamma^5}{2}\,,\quad P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} $

Projektoren sind,

$ (P_L)^2=P_L\,,\,(P_R)^2=P_R\,, $

die auf zueinander komplementäre, zweidimensionale Unterräume projizieren,

$ P_L\,P_R=0\,,\ \text{Spur}\,P_L=\text{Spur}\,P_R=2\,,\quad P_L+P_R=1\,. $

Diese Unterräume unterscheiden Teilchen verschiedener Chiralität.

Weil $ \gamma^5 $ mit den Erzeugenden von Spinortransformationen vertauscht,

$ \gamma^5 \Sigma^{\mu\nu}= \Sigma^{\mu\nu}\gamma^5\,, $

sind die Unterräume, auf die $ P_L $ und $ P_R $ projizieren, invariant unter den von $ \Sigma^{\mu\nu} $ erzeugten Lorentztransformationen, mit anderen Worten: Die links- und rechtshändigen Anteile, $ \psi_L = P_L \psi $ und $ \psi_R = P_R \psi $, eines Spinors $ \psi $ transformieren getrennt voneinander.

Parität

Wegen $ \gamma^0\gamma^5\gamma^0 = - \gamma^5 $ ändert ein Term, der $ \gamma^5 $ enthält, unter der Paritätstransformation sein Vorzeichen, es macht also aus Skalaren Pseudoskalare und aus Vektoren Pseudovektoren.

Allgemein folgen Größen, die man aus $ \overline{\psi}=\psi^\dagger A=\psi^\dagger \gamma^0 $, Gamma-Matrizen und einem eventuell von $ \psi $ verschiedenen Spinor $ \chi $ zusammensetzt, einem Transformationsgesetz, das am Indexbild ablesbar ist. Es transformieren

  • $ \overline \psi \chi $ wie ein Skalar,
  • $ \overline \psi\gamma^\mu \chi $ wie die Komponenten eines Vierervektors,
  • $ \overline \psi\Sigma^{\mu\nu} \chi $ wie die Komponenten eines antisymmetrischen Tensors,
  • $ \overline \psi\gamma^\mu\gamma^5 \chi $ wie die Komponenten eines axialen Vierervektors,
  • $ \overline \psi\gamma^5 \chi $ wie ein Pseudoskalar.

Feynman-Slash-Notation

Richard Feynman erfand die nach ihm benannte Slash-Notation (auch Feynman-Dolch oder Feynman-Dagger). In dieser Notation wird das Skalarprodukt eines Lorentzvektors mit dem Vektor der Gamma-Matrizen $ \textstyle \sum_{\mu=0}^3\,\gamma^\mu A_\mu $ abgekürzt geschrieben als

$ A\!\!\!/\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{\mu=0}^3 \gamma^\mu A_\mu $.

Dadurch kann z. B. die Dirac-Gleichung sehr übersichtlich geschrieben werden als

$ \Bigl( i \partial \!\!\!/\ - \frac{mc}{\hbar} \Bigr)\, \psi(x) = 0\ , $

oder in natürlichen Einheiten

$ \Bigl( i \partial \!\!\!/\ - m \Bigr)\, \psi(x) = 0\ . $

Dirac-Darstellung

In einer geeigneten Basis haben die Gamma-Matrizen die auf Dirac zurückgehende Form (wir schreiben verschwindende Matrixelemente nicht aus)

$ \begin{array}{c c} \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & -1 \end{pmatrix}\,,& \gamma^1 = \begin{pmatrix} & & & 1 \\ & & 1 & \\ & -1 & & \\ -1 & & & \end{pmatrix}\,,\\ \,& \,\\ \gamma^2 = \begin{pmatrix} & & & -\mathrm i \\ & & \mathrm i & \\ & \mathrm i & & \\ -\mathrm i & & & \end{pmatrix}\,, & \gamma^3 = \begin{pmatrix} & & 1 & \\ & & & -1 \\ -1 & & & \\ & 1 & & \end{pmatrix} \,. \end{array} $

Diese Matrizen lassen sich kompakter mit Hilfe der Pauli-Matrizen schreiben (jeder Eintrag steht hier für eine $ 2 \times 2 $-Matrix):

$ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & \\ & -1 \end{pmatrix}\,,\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} & \sigma^i \\ -\sigma^i & \end{pmatrix}\, ,\;i\in\{1,2,3\}\,,\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} & 1 \\ 1 & \end{pmatrix}\,. $

Die Diracmatrizen lassen sich mit Hilfe des Kronecker-Produktes auch folgendermaßen generieren:

$ \gamma^0=\sigma^3\otimes 1,\quad \gamma^i=\mathrm i \sigma^2\otimes\sigma^i, \;i\in\{1,2,3\} , \quad \gamma^5=\sigma^1\otimes1 $

Weyl-Darstellung

Die nach Hermann Weyl benannte Weyl-Darstellung heißt auch chirale Darstellung. In ihr ist $ \gamma^5 $ diagonal,

$ \gamma^5 = \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \end{pmatrix}\,,\quad P_L = \frac{1-\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix} 1 & \\ & 0 \end{pmatrix}\,,\quad P_R = \frac{1+\gamma^5}{2} = \begin{pmatrix} 0 & \\ & 1 \end{pmatrix}\,. $

Im Vergleich zur Dirac-Darstellung werden $ \gamma^0 $ und $ \gamma^5 $ verändert, die räumlichen $ \gamma $-Matrizen bleiben unverändert:

$ \gamma^0 = \begin{pmatrix} & 1 \\ 1 & \end{pmatrix}\,,\quad \gamma^i = \begin{pmatrix} & \sigma^i \\ - \sigma^i & \end{pmatrix}\,,\quad \gamma^5 = \begin{pmatrix} -1 & \\ & 1 \end{pmatrix} $

Die Weyldarstellung ergibt sich durch einen unitären Basiswechsel aus der Dirac-Darstellung,

$ \gamma^\mu_{\text{Weyl}}=U\,\gamma^\mu_{\text{Dirac}}U^{-1}\text{ mit } U= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\ U^{-1}=U^\dagger= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}\,. $

Spinortransformationen transformieren in der Weyl-Basis die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten des Dirac-Spinors getrennt.

Die chirale Darstellung ist von besonderer Bedeutung in der Weyl-Gleichung, der masselosen Dirac-Gleichung.

Majorana-Darstellung

In der Majorana-Darstellung sind alle Gamma-Matrizen imaginär. Dann ist die Dirac-Gleichung ein reelles Differentialgleichungssystem,

$ \begin{align} \gamma^{0} &= \begin{pmatrix} & -\sigma^2 \\ -\sigma^2 & \end{pmatrix}\,,& \gamma^{1} &= \begin{pmatrix} &\mathrm i\sigma^3 \\ \mathrm i\sigma^3 & \end{pmatrix}\,,&\\ &\, & &\\ \gamma^{2}&= \begin{pmatrix} \mathrm i & \\ & -\mathrm i \end{pmatrix}\,,& \gamma^{3} &= \begin{pmatrix} & -\mathrm i\sigma^1 \\ -\mathrm i\sigma^1 & \end{pmatrix}\,,& \gamma^{5} &= \begin{pmatrix} & \mathrm i \\ -\mathrm i & \end{pmatrix}\,. \end{align} $

Literatur

  • James Bjorken und Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik, BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim, 1990, (BI-Hochschultaschenbuch Band 98), ISBN 3-411-00098-8
  • Michael Peskin and Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1995, ISBN 0-201-50397-2
  • Josef-Maria Jauch and Fritz Rohrlich: The theory of photons and electrons, Addison-Wesley Publishing Co., New York, 1955
  • Ferdinando Gliozzi, Joel Sherk and David Olive, Supersymmetry, Supergravity Theories and the Dual Spinor Model, Nucl. Phys. B122, 253-290, 1977. (Dirac-Algebra in höheren Dimensionen)