Chirale Symmetrie

Die Chirale Symmetrie (von griechisch χέρι Hand) ist eine mögliche Symmetrie der Lagrangefunktion in der Quantenfeldtheorie, die vielfach – zumindest näherungsweise – gegeben ist und dann eine wichtige Rolle spielt, z. B. bei den Pionen.

Dabei werden linkshändiger und rechtshändiger Anteil der Fermionischen Felder unabhängig transformiert. Die chirale Symmetrietransformation kann aufgeteilt werden in eine Komponente, die linkshändigen und rechtshändigen Anteil gleich behandelt (Vektor-Symmetrie), und eine Komponente, die sie „entgegengesetzt“ behandelt (Axiale Symmetrie). Der letztgenannte Anteil verschwindet durch Quark-Kondensation in der erstgenannten Phase.

Beispiel: u- und d-Quarks in der QCD

Man betrachte die Quantenchromodynamik (QCD) mit den beiden masselosen Quarks u und d. Die Lagrange-Funktion lautet

$ \mathcal{L} = \overline{u}\,i\displaystyle{\not}D \,u + \overline{d}\,i\displaystyle{\not}D\, d + \mathcal{L}_\text{Gluonen}\,. $

Das i bedeutet dabei die imaginäre Einheit und $ \displaystyle{\not}D $ den Dirac-Operator in der Feynman-Slash-Notation. Die u und d sind die vierkomponentigen Dirac-Spinoren und der Überstrich bezeichnet die Dirac-Adjungierte.

Nach der Quantenchromodynamik sind die Mesonen aus je einem Quark und einem Antiquark zusammengesetzt, z. B. das $ \,\pi^+ $ aus einem $ \,u $ und einem $ \overline d $. Das ändert jedoch die folgende Herleitung nicht prinzipiell.

In der Darstellung der linkshändigen und rechtshändigen Spinoren erhält man also zunächst

$ \mathcal{L} = \overline{u}_L\,i\displaystyle{\not}D \,u_L + \overline{u}_R\,i\displaystyle{\not}D \,u_R + \overline{d}_L\,i\displaystyle{\not}D \,d_L + \overline{d}_R\,i\displaystyle{\not}D \,d_R + \mathcal{L}_\text{Gluonen}\,. $

Es wird definiert

$ q = \begin{bmatrix} u \\ d \end{bmatrix}\,. $

Somit folgt

$ \mathcal{L} = \overline{q}_L\,i\displaystyle{\not}D \,q_L + \overline{q}_R\,i\displaystyle{\not}D \,q_R + \mathcal{L}_\text{Gluonen}\,. $

Die Lagrangefunktion bleibt bei Rotation der $ q_L $ mit unitären 2×2-Matrizen L und bei Rotation der $ q_R $ mit unitären 2×2-Matrizen R jeweils invariant. Diese Symmetrie der Langrangefunktion wird Flavor-Symmetrie oder Chirale Symmetrie genannt und als $ U(2)_L \times U(2)_R $ notiert. Sie kann in folgende Teilsymmetrien zerlegt werden

$ SU(2)_L \times SU(2)_R \times U(1)_V \times U(1)_A\,\,. $

Die Vektor-Symmetrie $ U(1)_V\, $ lautet

$ q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad q_R \rightarrow e^{i\theta} q_R $

und entspricht der Baryonenzahl-Erhaltung.

Die entsprechende axiale Operation $ U(1)_A\, $ ist

$ q_L \rightarrow e^{i\theta} q_L \qquad q_R \rightarrow e^{-i\theta} q_R\,. $

Sie entspricht keiner  Erhaltungsgröße, da sie durch eine Quanten-Anomalie gebrochen wird.

Es stellt sich heraus, dass die verbleibende chirale Symmetrie $ SU(2)_L \times SU(2)_R $ zur Vektor-Untergruppe $ SU(2)_V\, $ (der Isospin-Gruppe) spontan gebrochen wird. Die Symmetriebrechung äußert sich dabei durch ein entsprechendes, vollständiges Quark-Kondensat.

Die Goldstonebosonen, die den drei gebrochenen Generatoren der Transformation entsprechen, sind die Pionen. Da die Massen der Quarks nicht gleich sind, ist die $ SU(2)_L \times SU(2)_R $ nur näherungsweise eine Symmetrie des Systems. Die Pionen sind somit keine „echten“, masselosen Goldstone-Bosonen, sondern sog. Pseudo-Goldstonebosonen.

Chiraler Limes

Von der „chiralen Symmetrie“ zu unterscheiden  ist der sogenannte „chirale Limes“ ($ m\to 0 $) einer einzelnen Dirac-Gleichung. Dieser Limes ist am besten bei Neutrinos bzw. ihren Antiteilchen mit ihrer wohldefinierten Chiralität realisiert („Linksschraube“ bzw. „Rechtsschraube“ bzgl. Spin und Impuls bei Neutrinos bzw. Antineutrinos, $ \quad \vec s \propto \mp \vec p $), sowie im Festkörper bei den Graphenen.

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