Bohr-van-Leeuwen-Theorem

Das Bohr-van-Leeuwen-Theorem ist ein Theorem aus dem Bereich der Festkörperphysik und statistischen Physik. Es besagt, dass bei Anwendung der klassischen Statistik die Magnetisierung im thermischen Gleichgewicht Null wäre, da sich die Bewegungsenergie einer Ladung im Magnetfeld nicht ändert. Demnach ist Magnetismus bei Festkörpern ein rein quantenmechanischer Effekt.

Heuristische klassische Betrachtung

Die Magnetisierung (Anzahl magnetischer Momente pro Einheitsvolumen) ist proportional zur Änderung der Energie eines Systems in einem Magnetfeld. Da die Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft) exakt senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung wirkt, erfährt diese Ladung durch das Feld zwar eine Richtungsänderung, der Betrag bleibt jedoch konstant, d. h., die Änderung der Energie ist Null und somit auch die Magnetisierung.

Mathematischer Beweis

Für ein (bzw. mehrere) Teilchen mit Ladung $ q $ bzw. $ q_i $ in Magnetfeldern $ \mathbf B_i $ mit Vektorpotential $ \mathbf A_i $ ist die Hamiltonfunktion definiert über $ H\{(\mathbf{p}_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i(\mathbf r_i,t),\mathbf r_i)\} $ [1] . Dabei stellt das erste Argument den sog. kanonischen Impuls $ \mathbf p_i = m\mathbf v_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A_i $ dar, während $ m\mathbf v_i $ den kinetischen Impuls bildet.  $ \frac{m}{2}\cdot\mathbf v_i^2 $ ist die kinetische Energie, während $ \mathbf B_i=\rm{rot\,\,}\mathbf A_i $ die magnetische Induktion darstellt. Das Vektorpotential $ \mathbf A_i $ des Magnetfeldes ist im Gegensatz zu $ m\cdot\mathbf v_i $ nicht eindeutig, sondern man kann zu $ \mathbf A_i $ ein beliebiges Gradientenfeld hinzufügen ohne dass sich $ \mathbf B_i $ ändert.

Trotzdem ist die Zustandssumme eines Systems aus N solcher (ununterscheidbarer) Teilchen in der statistischen Physik klassisch über den kanonischen Impuls definiert:

$ Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\, $$ \mathrm{e}^{-\beta H\{( \mathbf p_i - \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i), \mathbf r_i )\}}\,, $

wobei dies in drei Dimensionen behandelt wird.

Nun geht man zum kinetischen Impuls über, indem man substituiert: $ \mathbf p_i \equiv \mathbf p_i' + \frac{q_i}{c} \mathbf A(\mathbf r_i) $. Da alle Impulse $ \mathbf p_i' $ über den gesamten dreidimensionalen Raum integriert werden, ändern sich die Integralgrenzen nicht. Die Zustandssumme wird dann zu $ Z = \frac{1}{h^{3N} N!} \int_{\mathbb{R}^{3N}} \mathrm{d}^{3N}p' \int_{V^{N}} \mathrm{d}^{3N}r\, \mathrm{e}^{-\beta H\{ (\mathbf p_i', \mathbf r_i )\}} $ Da diese nun nicht mehr vom Vektorpotential $ \mathbf A $ und somit auch nicht vom externen Magnetfeld $ \mathbf B $ abhängig ist, verschwindet die Magnetisierung,

$ \mathbf M = - \frac{\partial F}{\partial \mathbf B} \equiv 0\,, $ wobei $ F = - k_B T \ln(Z) $ die freie Energie ist,

Abweichung in der Quantenmechanik

In der Quantenmechanik gilt das Bohr-van Leeuven-Theorem nicht mehr, weil der Spin des Teilchens zu berücksichtigen ist. Infolgedessen gilt der einfache Zusammenhang $ E_{kin}=\frac{m}{2}v_i^2 $ bzw. $ =\frac{\mathrm p_i'^2}{2m}\,, $ also die Unabhängigkeit der kinetischen Energie vom Vektorpotential, in der Quantenmechanik nicht mehr, sondern der Hamiltonoperator hängt explizit von den inneren und äußeren Magnetfeldern ab, wodurch Magnetismus als spezifisch quantenmechanisches Phänomen in nichtquadratischer Ordnung bezüglich der Magnetfeldstärke, also z. B. Ferromagnetismus von bestimmten Festkörpern und Paramagnetismus in bestimmten Molekülen, zustande kommen können.

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. Hier wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit das sog. cgs-System benutzt. Im alternativen Internationalen Einheitensystem ersetzt man c durch 1.

Siehe auch

  • Magnetismus, insbesondere das Unterkapitel zur quantenmechanischen Erklärung des Phänomens.