Bogoliubov-Ungleichung

Als Bogoliubov-Ungleichung werden zwei Ungleichungen bezeichnet, die beide sehr allgemeine Aussagen in der statistischen Physik machen. Die erste so bezeichnete Ungleichung ist eher abstrakt und setzt einen mit zwei Operatoren, A bzw. C, gebildeten Ausdruck (einen Erwartungswerten von quantenmechanischen Operatoren im thermischen Gleichgewicht) in Beziehung zu einem Produkt aus zwei mit den separaten Operatoren gebildeten Korrelationsfunktionen. Veröffentlicht wurde die Ungleichung 1962[1] von dem russischen Physiker und Mathematiker Nikolai Nikolajewitsch Bogoljubow. Variante 2 ist konkreter: sie betrifft die Freie Energie eines thermodynamischen Systems und ihre verschiedenen Näherungen und ist allgemeiner bekannt (siehe viele Standard-Lehrbücher der Statistischen Physik).

Inhalt der Variante 1

Betrachtet wird ein physikalisches System, beschrieben mittels eines Hamiltonoperators H. Dann gilt für zwei Operatoren A und C (für die die angegebenen Mittelwerte existieren, die aber ansonsten beliebig sind):

$ |\langle[A,C]\rangle|^2\leq\frac{\beta}{2}\langle\{A,A^\dagger\}\rangle\cdot\langle[C^\dagger,[H,C]]\rangle\qquad \text{mit} \qquad \beta=\frac{1}{k_B T} $

wobei $ [A,C] $ als Kommutator bzw. $ \{A,A^\dagger\} $ als Anti-Kommutator zu verstehen sind, sowie der Erwartungswert eines Operators X als

$ \langle X \rangle = \text{Sp}(e^{-\beta H}X)/\text{Sp}(e^{-\beta H}) $

gegeben ist. $ k_B $ ist die Boltzmann-Konstante. Der (ursprüngliche) Beweis des Mermin-Wagner-Theorems, eines Fundamentaltheorems über die Unmöglichkeit geordneter zweidimensionaler Ferromagnete (bzw. Supraleiter bzw. Kristalle) bei isotroper Wechselwirkung, beruht hauptsächlich auf dieser Ungleichung.[2]

Beweisidee

Der Beweis der Bogoliubov-Ungleichung basiert darauf, dass über

$ (A,B):=\sum^{E_n\neq E_m}_{nm}\langle n|A^\dagger|m\rangle \langle m|B|n\rangle\frac{e^{-\beta E_m}-e^{-\beta E_n}}{E_n-E_m} $

ein positiv semi-definites Skalarprodukt definiert werden kann. Als Skalarprodukt erfüllt es die Schwarzsche Ungleichung:

$ |(A,B)|^2\leq (A,A)\cdot(B,B) $

Betrachtet man nun $ B=[C^\dagger,H] $ so erhält man die Ungleichung.

Variante 2

Eine andere Beziehung ist ebenfalls als Bogoliubov'sche Ungleichung bekannt,[3] aber allgemeiner anwendbar, z. B. bei der Approximation der sog. Freien Energie $ F $ eines beliebigen thermodynamischen Systems durch Näherungsverfahren, z. B. durch eine Molekularfeld-Näherung. Diese ebenfalls als "Bogoliubov'sche Ungleichung" bezeichnete Beziehung beruht darauf, dass in solchen Fällen der Hamiltonoperator $ \mathcal H $ des Systems durch eine Näherung $ \mathcal H_0 $ ersetzt wird. Es gilt dann die Beziehung

$ F\le F_0+\langle\mathcal H-\mathcal H_0\rangle_0\,, $

wobei auf der rechten Seite dieser Ungleichung alle Erwartungswerte konsequent mit dem Näherungsoperator zu berechnen sind, z. B. $ \langle X\rangle_0=\frac{{\rm{Spur}\,\,} (e^{-\beta\mathcal H_0}X)}{{\rm{Spur}}\,\, e^{-\beta\mathcal H_0}}\,. $ Die freie Energie ist i.W. der Logarithmus der Zustandssumme, $ F=-\beta^{-1} \ln {\rm{Spur}\,\,e^{-\beta\mathcal H}}\,. $ Das Multiplikationszeichen, $ \cdot \,, $ ist jetzt durch das Summenzeichen, +, ersetzt, was wegen des logarithmischen Charakters der Freien Energie sachgemäß ist (ln a•b =ln a + ln b).

Ein Beweis der Variante 2 findet sich in dem angegebenen Artikel. Beide Varianten beruhen auf ähnlichen Ideen.

Literatur

  • Nolting: Quantentheorie des Magnetismus, Teubner, Bd.2

Quellen

  1. N. N. Bogoliubov, Physik. Abhandl. Sowjetunion 6, 1, 113, 229 (1962).
  2. Mermin, Wagner Absence of ferromagnetism or antiferromagnetism in 1 or 2 dimensional isotropic Heisenberg models, Physical Review Letters, Bd.17, 1966, S. 1133.
  3. siehe z. B. die englische Wikipedia im Artikel Helmholtz_free_energy#Bogoliubov_inequality.