Beugungsintegral

Beugungsintegral

Das Beugungsintegral ermöglicht es, in der Optik die Beugung von Licht durch eine beliebig geformte Blende zu berechnen. Speziell wird dabei die an einem Punkt des Beobachtungsschirms auftreffende Intensität des Lichtes berechnet, ausgehend von einer einfallenden Elementarwelle und der Blendenfunktion, welche die Lichtdurchlässigkeit der Blende beschreibt.

Zwei Grenzfälle des Beugungsintegrals sind die Näherungen für das Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) und für das Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe dazu die entsprechenden Teilabschnitte.

Versuchsaufbau zur Beugung von Licht an einer Blende

Die nebenstehende Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle $ Q $, einer Blende $ S $, an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität an $ P $ untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.

Hat die Blende z. B. die Form eines Doppelspalts, so ergibt sich als Intensitätsverteilung das bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen des Beugungsintegrals sind z. B. Beugungsscheibchen und Klotoide.

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral

Skizze zur Fraunhofer-/Fresnel-Näherung des Beugungsintegrals

Das Kirchhoffsche Beugungsintegral, auch Fresnel-Kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet

$ \psi_P = \frac{a_Q\,k_0}{2\pi\,\mathrm i} \int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,\frac{e^{\mathrm i\,k_0(d+d_1)}}{d\cdot d_1}\left[\frac{\cos\theta+\cos{\theta_1}}{2}\right]. $

Dabei bezeichnen

  • $ a_Q $ die Amplitude der Quelle,
  • $ k_0=2\pi/\lambda $ den Betrag des Wellenvektors,
  • $ \lambda $ die Wellenlänge des Lichtes,
  • $ \mathrm dS $ ein infinitesimales Flächenelement der Blende,
  • $ f_S $ die Blendenfunktion,
  • $ (\cos\theta+\cos\theta_1)/ 2 $ den Neigungsfaktor und schließlich
  • $ \psi_P $ die Amplitude im Punkt $ P $ auf dem Beobachtungsschirm.

Da die Abstände $ d_1 $ und $ d $ in den meisten Anwendungen hinreichend senkrecht zur Blende sind, kann der Neigungsfaktor in diesen Fällen gleich Eins gesetzt werden. Dabei sind $ \theta_1 $ bzw. $ \theta $ die Winkel zwischen den mit $ d_1 $ bzw. $ d $ gekennzeichneten Linien und einem Lot auf die Blendenebene im Schnittpunkt der Linien.

Die Intensität am Punkt $ P $ ergibt sich als Betragsquadrat von $ \psi_P $

$ I(P)=| \psi_P |^2 = \frac{a_Q^2\,k_0^2}{4\pi^2 }\left|\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,{e^{\mathrm i\,k_0(d+d_1)}\over d\cdot d_1}\left[{\frac{\cos\theta+\cos{\theta_1}}{2}}\right]\right|^2. $

Fraunhofer- und Fresnel-Beugung

Prinzip der Fresnelbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende
Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende
Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand eines Linsensystems und einer Schlitzblende

Für die Lichtwege $ d $ und $ d_1 $ gelten die geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze)

$ d=\sqrt{L^2+|\vec{s}+(-\vec{p})|^2} $ und
$ d_1=\sqrt{L_1^2+|\vec{s}|^2} $.

Unter den Annahmen $ L_1\gg|\vec{s}|=\sqrt{x^2+y^2} $ und $ L\gg|\vec{p}|=\sqrt{x'^2+y'^2} $ können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.

Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass $ \theta\approx\theta_1\approx 0 $, d. h., für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral

$ \psi_P = \frac{a_Q\,k_0}{2\pi\,\mathrm i}\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,{e^{\mathrm i\,k_0(d+d_1)}\over d\cdot d_1}. $

Ferner kann wegen der Näherung im Nenner $ d\cdot d_1\approx L_1\,L $ gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt

$ \psi_P = \frac{a_Q\,k_0}{2\pi\,\mathrm i}\frac{1}{L_1\,L} \int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,e^{\mathrm i\,k_0(d+d_1)}. $

Die Näherung für die Ausdrücke $ d $ und $ d_1 $, explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt

$ d = \sqrt{L^2+|\vec{s}-\vec{p}|^2}\approx L\left( 1+{|\vec{s}-\vec{p}|^2\over 2L^2}+ \ldots \right)= L\left( 1+{s^2+p^2-2\vec{s}\cdot\vec{p}\over 2L^2}+ \ldots \right) $

sowie

$ d_1=\sqrt{L_1^2+s^2}\approx L_1\left( 1+{s^2\over 2 L_1^2}+ \ldots \right). $

Ausgedrückt durch die Koordinaten $ (x,\,y) $ und $ (x',\,y') $ ergibt das

$ d \approx L\left( 1 + \frac{x^2+y^2+x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')}{2L^2}+ \ldots \right) $

und

$ d_1 \approx L_1\left( 1 + \frac{x^2+y^2}{2 L_1^2} + \ldots \right). $

Fraunhofer-Näherung

Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt, dass nicht nur die Blendenöffnung als klein, sondern auch die Entfernung des Beobachtungsschirms $ L $ als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung auch von der Fourier-Optik.

Entsprechend diesen Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in $ x $ und $ y $ sind, das heißt

$ d\approx L\left( 1+{x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2} \right)= L\left( 1+{|\vec{p}|^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2} \right), $
$ d_1\approx L_1. $

In diesem Fall vereinfacht sich das Beugungsintegral zu

$ \psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,\mathrm i}{e^{\mathrm i\,k_0(L_1+L+{p^2\over 2L})}\over L_1\,L}\iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,k_0{(x\,x'+y\,y')\over L}}. $

Definiert man einen neuen Wellenvektor $ \vec{K}= {k_0\over L}\vec{p} $, so ergibt sich für das Integral

$ \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,k_0{(x\,x'+y\,y')\over L}}= \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,{k_0\over L}\vec{p}\cdot\vec{s}}= \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{-\mathrm i\,\vec{K}\cdot\vec{s}} $.

Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion $ f_S\,(x,y) $.

Fresnel-Näherung

Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. In ihr werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das in die Form einer Fourier-Transformierten gebrachte Beugungsintegral ist dann durch einen zusätzlichen Term im Allgemeinen nicht mehr analytisch sondern nur numerisch lösbar.

Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in $ x $ und $ y $ ergibt sich

$ d\approx L\left( 1+{x^2+y^2+x'^2+y'^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L^2}+ \ldots \right), $
$ d_1\approx L_1\left( 1+{x^2+y^2\over 2 L_1^2}+ \ldots \right). $

In diesem Fall lautet das Beugungsintegral

$ \psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,\mathrm i}{ e^{\mathrm i\,k_0(L+L_1+{p^2\over 2L})} \over L\,L_1} \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{\mathrm i\,k_0({x^2+y^2-2(x\,x'+y\,y')\over 2L}+{x^2+y^2\over 2 L_1})}. $

Einführung von $ L' $ mit $ {1\over L'}={1\over L}+{1\over L_1} $ und $ \vec{K}= {k_0\over L}\vec{p} $ ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung

$ \psi_P\approx{a_Q\,k_0\over 2\pi\,\mathrm i}{ e^{\mathrm i\,k_0(L+L_1+{p^2\over 2L})} \over L\,L_1} \iint_\mathrm{Blende}\mathrm dx\,\mathrm dy\,f_S(x,y)\,e^{i\,k_0{x^2+y^2\over 2L'}}e^{-\mathrm i\,\vec{K}\cdot\vec{s}}. $

Herleitung

Bezeichnungen

Aus der Quelle $ Q $ mit Amplitude $ a_Q $ bei $ \vec{r}_Q $ tritt die Kugelwelle $ \psi_Q $, deren Amplitude reziprok mit der Entfernung ($ 1/|\vec{r}| $) abnimmt. Wellenvektor $ k $ mal Abstand $ |\vec{r}| $ gibt die Phasenverschiebung der Welle am Ort $ \vec{r} $, Kreisfrequenz $ \omega $ mal Zeit $ t $ die Phasenverschiebung zur Zeit $ t $. Die Welle ist beschrieben durch die Phase am Ort $ \vec{r} $ zur Zeit $ t $:

$ \psi_Q(\vec{r},t)=a_Q\, {e^{\mathrm i(k\,|\vec{r}|-\omega\,t)}\over |\vec{r}|}. $

Am Punkt $ S $ bei $ \vec{r}_S $ trifft die Welle im Abstand $ d_1 $ auf die Blende. Es sei $ \psi_1 $ die Feldverteilung der Welle am Punkt $ S $.

$ \psi_1(t)=\psi_Q(d_1,t)=a_Q\,{e^{\mathrm i(k\,d_1-\omega\,t)}\over d_1} $

Nach dem Huygensschen Prinzip ist der Punkt $ S $ Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle $ \psi_S $.

$ \psi_S(\vec{r},t)=a_S\, {e^{i(k\,|\vec{r}|-\omega\,t)}\over |\vec{r}|}. $

Die Amplitude von $ \psi_S $ ist proportional zur Quellen-Amplitude $ a_Q $ und zur Blendenfunktion $ f_S $. Die Blendenfunktion gibt die Durchlässigkeit der Blende an. Im einfachsten Fall ist $ f_S=1 $, wenn die Blende geöffnet ist, und $ f_S=0 $, wenn die Blende geschlossen ist. $ \mathrm dS $ ist das infinitesimale Flächenelement der Blendenöffnung am Punkt $ S $.

$ a_S(t)\sim f_S\,\mathrm dS\,\psi_1(t) $

Die Sekundärwelle $ \psi_S $ erzeugt im Punkt $ P $ bei $ \vec{r}_P $ auf dem Schirm die Wellenintensität $ \mathrm d\psi_P(t) $. Sie ist infinitesimal, da nur der Beitrag von $ \mathrm dS $ und nicht aller anderen Punkte auf der Blende betrachtet wird.

$ \mathrm d\psi_P(t)=\psi_S(\vec{d};t)=a_S\,{e^{\mathrm i(k\,d-\omega\,t)} \over d} $

Die Zeitabhängigkeit $ e^{-\mathrm i\,\omega\,t} $ kann vernachlässigt werden, da sie später beim Rechnen mit Intensitäten ohnehin durch die zeitliche Mittelung verschwindet.
Durch Einsetzen erhält man:

$ \mathrm d\psi_P \sim f_S\,\mathrm dS\,\psi_1(t)\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,d}}{d} = f_S\,\mathrm dS\,a_Q\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,d_1}}{d_1}\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,d}}{d} = f_S\,\mathrm dS\,a_Q\,\frac{e^{\mathrm i\,k\,(d_1+d)}}{d_1\,d} $

Von jedem Punkt auf der Blende geht eine Sekundärwelle aus. Die Intensität $ \psi_P $ im Beobachtungspunkt $ P $ wird durch die Überlagerung aller Einzelbeiträge erzeugt:

$ \psi_P\sim a_Q\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\, \frac{e^{\mathrm i\,k(d+d_1)}}{d \cdot d_1}. $

Diese Gleichung erinnert bereits stark an das oben gegebene Beugungsintegral. Mit dem Proportionalitätsfaktor $ k/(2\pi\,\mathrm i) $ ergibt sich (Neigungswinkel vernachlässigt):

$ \psi_P= a_Q\,\frac{k}{2\pi\,\mathrm i}\,\int_\text{Blende}\mathrm dS\,f_S\,{e^{\mathrm i\,k(d+d_1)}\over d\cdot d_1}. $

Diese Artikel könnten dir auch gefallen



Die letzten News


27.07.2021
Topologie in der Biologie
Ein aus Quantensystemen bekanntes Phänomen wurde nun auch im Zusammenhang mit biologischen Systemen beschrieben: In einer neuen Studie zeigen Forscher dass der Begriff des topologischen Schutzes auch für biochemische Netzwerke gelten kann.
26.07.2021
Nadel im Heuhaufen: Planetarische Nebel in entfernten Galaxien
Mit Daten des Instruments MUSE gelang Forschern die Detektion von extrem lichtschwachen planetarischen Nebeln in weit entfernten Galaxien.
26.07.2021
Langperiodische Schwingungen der Sonne entdeckt
Ein Forschungsteam hat globale Schwingungen der Sonne mit sehr langen Perioden, vergleichbar mit der 27-tägigen Rotationsperiode der Sonne, entdeckt.
26.07.2021
Ein Stoff, zwei Flüssigkeiten: Wasser
Wasser verdankt seine besonderen Eigenschaften möglicherweise der Tatsache, dass es aus zwei verschiedenen Flüssigkeiten besteht.
26.07.2021
Ins dunkle Herz von Centaurus A
Ein internationales Forscherteam hat das Herz der nahegelegenen Radiogalaxie Centaurus A in vorher nicht erreichter Genauigkeit abgebildet.
26.07.2021
Ein möglicher neuer Indikator für die Entstehung von Exoplaneten
Ein internationales Team von Astronomen hat als erstes weltweit Isotope in der Atmosphäre eines Exoplaneten nachgewiesen.
26.07.2021
Auf dem Weg zur Supernova – tränenförmiges Sternsystem offenbart sein Schicksal
Astronomen ist die seltene Sichtung zweier Sterne gelungen, die spiralförmig ihrem Ende zusteuern, indem sie die verräterischen Zeichen eines tränenförmigen Sterns bemerkten.
26.07.2021
Quantenteilchen: Gezogen und gequetscht
Seit kurzem ist es im Labor möglich, die Bewegung schwebender Nanoteilchen in den quantenmechanischen Grundzustand zu versetzen.
26.07.2021
Ein Kristall aus Elektronen
Forschenden der ETH Zürich ist die Beobachtung eines Kristalls gelungen, der nur aus Elektronen besteht. Solche Wigner-​Kristalle wurden bereits vor fast neunzig Jahren vorhergesagt, konnten aber erst jetzt direkt in einem Halbleitermaterial beobachtet werden.
26.07.2021
Neue Erkenntnisse zur Entstehung des chaotischen Terrains auf dem Mars
Gebiete wie diese gibt es auf der Erde nicht: Sie sind durchzogen von Kratern, Rissen, Kämmen, Tälern, großen und kleinen eckigen Blöcken.
26.07.2021
Synthese unter Laserlicht
Eine Forschungsgruppe hat neue Methode zur Bildung von protoniertem Wasserstoff entdeckt. Mit starken Laserpulsen erzeugen Physiker des attoworld-Teams am Max-Planck-Instituts für Quantenoptik und der Ludwig-Maximilians-Universität München erstmals protonierten Wasserstoff an Nanooberflächen.
26.07.2021
Materiestraße im All lässt Galaxienhaufen wachsen
Vor einem halben Jahr meldeten Astronomen der Universität Bonn die Entdeckung eines extrem langen intergalaktischen Gasfadens mit dem Röntgenteleskop eROSITA.
26.07.2021
Kosmischer Treffpunkt für Galaxienhaufen
Was treibt Galaxien an, oder führt zu ganzen Ansammlungen von Galaxien – sogenannte Galaxienhaufen? Obwohl kosmologische Modelle und Simulationen diese Strukturen und die Rolle, die sie spielen könnten, vorausgesagt haben, ist die Bestätigung ihrer Existenz durch die Beobachtung mit dem Röntgen-Weltraumteleskop eROSITA ziemlich neu.
28.06.2021
Quantensimulation: Messung von Verschränkung vereinfacht
Forscher haben ein Verfahren entwickelt, mit dem bisher kaum zugängliche Größen in Quantensystemen messbar gemacht werden können.
28.06.2021
Exotische Supraleiter: Das Geheimnis, das keines ist
Wie reproduzierbar sind Messungen in der Festkörperphysik? Ein Forschungsteam analysierte wichtige Messungen neu. Sie fanden heraus: Ein angeblich sensationeller Effekt existiert gar nicht.
28.06.2021
Paradoxe Wellen: Gefangene Lichtteilchen auf dem Sprung
Physikern ist es gelungen, ein neuartiges Verhalten von Lichtwellen zu beobachten, bei welchem Licht durch eine neue Art von Unordnung auf kleinste Raumbereiche begrenzt wird.
28.06.2021
Isolatoren bringen Quantenbits zum Schwitzen
Schwachleitende oder nichtleitende Materialien haben Innsbrucker Physiker als wichtige Quelle für Störungen in Ionenfallen-Quantencomputern identifiziert.
23.06.2021
Fürs Rechenzentrum: bisher kompaktester Quantencomputer
Quantencomputer waren bislang Einzelanfertigungen, die ganze Forschungslabore füllten.
17.06.2021
Helligkeitseinbruch von Beteigeuze
Als der helle, orangefarbene Stern Beteigeuze im Sternbild Orion Ende 2019 und Anfang 2020 merklich dunkler wurde, war die Astronomie-Gemeinschaft verblüfft.
17.06.2021
Das Elektronenkarussell
Die Photoemission ist eine Eigenschaft unter anderem von Metallen, die Elektronen aussenden, wenn sie mit Licht bestrahlt werden.
17.06.2021
Ultrakurze Verzögerung
Trifft Licht auf Materie geht das an deren Elektronen nicht spurlos vorüber.
17.06.2021
Entdeckung der größten Rotationsbewegung im Universum
D
13.06.2021
Die Taktgeber der Sonne
Nicht nur der prägnante 11-Jahres-Zyklus, auch alle weiteren periodischen Aktivitätsschwankungen der Sonne können durch Anziehungskräfte der Planeten getaktet sein.
13.06.2021
Wenn Schwarze Löcher den Weg für die Sternentstehung in Satellitengalaxien freimachen
Eine Kombination von systematischen Beobachtungen mit kosmologischen Simulationen hat gezeigt, dass Schwarze Löcher überraschenderweise bestimmten Galaxien helfen können, neue Sterne zu bilden.
13.06.2021
Flüssiges Wasser auf Monden sternenloser Planeten
Monde sternenloser Planeten können eine Atmosphäre haben und flüssiges Wasser speichern. Münchner Astrophysiker haben berechnet, dass die Wassermenge ausreicht, um Leben auf diesen wandernden Mond-Planeten-Systemen zu ermöglichen und zu erhalten.