Öffnungswinkel

Öffnungswinkel

Dieser Artikel erläutert den Begriff Öffnungswinkel in der Optik; zu anderen Bedeutungen siehe Öffnungswinkel (Begriffsklärung).

Als Öffnungswinkel $ \omega $ einer Sammellinse oder eines Objektivs (allgemein eines fokalen optischen Systems) wird der Winkel bezeichnet, den ein Punkt auf der optischen Achse mit dem Durchmesser der Eintritts- bzw. Austrittspupille bildet.

Konkret unterscheidet man zwischen objektseitigem und bildseitigem Öffnungswinkel

  • objektseitiger Öffnungswinkel
Der objektseitige Öffnungswinkel $ \omega_\mathrm{O} $ ist definiert als der Winkel zwischen dem Objektpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Eintrittspupille.
$ \omega_\mathrm{O} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Eintrittspupille}} { 2 \cdot \text{Abstand}_\text{Eintrittspupille zu Objektpunkt}} \right) $
  • bildseitiger Öffnungswinkel
Analog ist der bildseitige Öffnungswinkel $ \omega_\mathrm{B} $ der Winkel zwischen dem Bildpunkt auf der optischen Achse und dem Durchmesser der Austrittspupille.
$ \omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Austrittspupille}} { 2 \cdot \text{Abstand}_\text{Austrittspupille zu Bildpunkt}} \right) $

Der bildseitige Öffnungswinkel bestimmt die Größe der Zerstreuungskreise und beeinflusst somit die Abbildungstiefe.

Öffnungswinkel einer Sammellinse

Datei:Öffnungswinkel Sammellinse.jpg
Objektseitiger Öffnungswinkel $ \omega_\mathrm{O} $ und bildseitiger Öffnungswinkel $ \omega_\mathrm{B} $. Gegenstandsweite $ g $ sowie die Bildweite $ b $ sind bezeichnet.

Bei Foto-Objektiven entsprechen die Positionen der Eintritts- bzw. Austrittspupille in der Regel nicht mehr der Lage der Hauptebenen, auch ist deren Durchmesser üblicherweise variabel. Im Unterschied zu Objektiven, die zusätzliche Blenden enthalten und meistens auch aus mehreren Linsen aufgebaut sind, fallen bei einer Sammellinse Eintritts- und Austrittspupille in der Linsenmitte zusammen - ihr Durchmesser entspricht dabei einfach dem Linsendurchmesser. Somit entspricht der Abstand des Objektpunktes zur Eintrittspupille der Gegenstandsweite $ g $ und der Abstand des Bildpunktes zur Austrittspupille entspricht der Bildweite $ b $. Dadurch vereinfachen sich die Verhältnisse so, dass sich die Öffnungswinkel bei einer Sammellinse einfach berechnen lassen:

$ \omega_\mathrm{O} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} { 2 \cdot \text{Gegenstandsweite}} \right) $

für den objektseitigen Öffnungswinkel und

$ \omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} { 2 \cdot \text{Bildweite}} \right) $

für den bildseitigen Öffnungswinkel

Große Gegenstandsweite

Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn man den Öffnungswinkel bei sehr großen Gegenstandsweiten („unendlich“) betrachtet. Wächst die Gegenstandsweite über alle Grenzen, so wird

$ \omega_\mathrm{O} = 0 \, . $

Gemäß der Linsengleichung entspricht die Bildweite bei unendlich großer Gegenstandsweite der Brennweite f, also wird

$ \omega_\mathrm{B} = 2 \cdot \arctan \left( \frac {\varnothing_\text{Linse}} {2 \cdot f} \right) \, . $

Öffnungsverhältnis und Blendenzahl

Für große Gegenstandsweiten g ergibt sich aus dem bildseitigen Öffnungswinkel $ \displaystyle \omega_\mathrm{B} $ und der Brennweite f eines optischen Systems das Öffnungsverhältnis 1/k

$ \frac 1 k = 2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_\mathrm{B}} 2 \right) \, $

Die Blendenzahl ist der Kehrwert des Öffnungsverhältnisses, also
$ k = \frac 1 {2 \cdot \tan \left( \frac {\omega_\mathrm{B}} 2 \right)} $

Numerische Apertur

Aus dem objektseitigen Öffnungswinkel $ \omega_\mathrm{O} $ und dem Brechungsindex n des Mediums ergibt sich die numerische Apertur $ A_N $ wie folgt:

$ A_N = n \cdot \sin \left( \frac {\omega_\mathrm{O}} 2 \right) \, $

Der Brechungsindex n der Luft ist etwa 1 (1,000292 in Bodennähe).

Siehe auch

  • Bildwinkel

Weblinks


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