Abklingkonstante

Die Abklingkonstante ist bei linearen Schwingungssystemen mit einem Freiheitsgrad das Produkt aus ungedämpfter Eigenkreisfrequenz $ \omega_0 $ und Lehrscher Dämpfung $ D $.

$ \delta = \omega_0\cdot D, \, \left | D \right | < 1 $

Der Zeitverlauf einer linearen Schwingung kann durch die Gleichung:

$ x(t)=x_0\,e^{-\delta t}\sin(\omega_d\, t+ \varphi_0) \, $, mit $ \omega_d = \omega_0 \, \sqrt {1 - D^2} $

beschrieben werden. Bei positivem Vorzeichen der Abklingkonstanten klingt die Schwingung ab, bei negativem Vorzeichen nimmt die Amplitude der Schwingung exponentiell zu.

Bei einer gedämpften Schwingung ($ \delta > 0 $) ist die Amplitude etwa nach der Zeit $ t_\mathrm{\mbox{ü}} = \frac{3}{\delta} $ auf unter 5 % der Ausgangsamplitude abgeklungen.

Bei gemessenen Sprungantworten beliebiger Schwingungssysteme kann die Abklingkonstante näherungsweise aus dem logarithmischen Dekrement $ \Lambda $ und der Schwingungsperiode $ T_\mathrm{d} $ berechnet werden.

$ \delta = \frac{\Lambda}{T_\mathrm{d}} $

Das logarithmische Dekrement berechnet sich aus zwei Amplituden, die um die Schwingungsdauer entfernt liegen. Bei linearen Systemen reichen zwei Amplituden aus. Bei schwach nichtlinearen Systemen sollte über mehrere logarithmische Dekremente gemittelt werden. Bei stark nichtlinearen System ist es besser die Zeit zu ermitteln bis die Amplitude in einen Streifen um ± 5 Prozent des Stationärwerts eingetreten ist.[1]

$ \Lambda = \ln\frac {A(t)} {A(t+T_\mathrm{d})} $

Systeme mit PT1-Verhalten, z. B. die Hintereinanderschaltung einer Feder und eines Dämpfers werden durch die Differentialgleichung

$ T_1\cdot \dot y(t) + y(t) = x(t) $

beschrieben. Die Zeitkonstante $ T_1 $ ist der Kehrwert der Abklingkonstanten.

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise

  1. Otto Föllinger: Regelungstechnik. 6. verbesserte Auflage. Hüthig Verlag 1985. ISBN 3-7785-1137-8